PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Imanuel Nelson Putra Siagian

17

Persamaan garis singgung kurva masih berkaitan dengan gradien garis singgung. Perhatikan gambar berikut ini:

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Langkah-langkah untuk mencari garis singgung dan garis normal ;

1.) Tentukan titik singgung (X1, Y1)

2.) Cari koefisien arah m = f`(X1)

3.) Cari garis singgung dengan rumus y-y1 = m (x-x1)

4.) Cari garis normal dengan rumus y-y1 = -1/m (x-x1)

 

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

1. 

   Persamaan Garis

   Persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$

 dengan gradien m adalah :$$y-y_1=m(x-x_1)$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1,4)$ dengan m = 3 adalah
y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = $-\frac{a}{b}$

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $-\frac{6}{-2}$

2.  = 3

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$$m=tan\alpha$$

Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : $m_A=m_B$

Tegak lurus : $m_A\cdot m_B=-1$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\left(x_1,y_1\right)$

. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$y-y_1=m(x-x_1)$$dengan $m=f^{\prime }\left(x_1\right)$

 

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva

Soal 1

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan
Titik singgung dititik (2, 8), maka x₁ = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12 

Soal 2

Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x$ dititik $(1,3)$

 adalah ...

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Soal 3

Persamaan garis singgung kurva $y=2x-3x^2$

 di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung :  (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²  ⇒  f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

 

Soal 4

Persamaan garis singgung kurva $y=2\sqrt{x}$

 di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1


Soal 5
Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+5$ yang sejajar dengan garis $2x-y+3=0$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0  ⇒  m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5   ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂ = 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

 

Soal 6

Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab :

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(x)

1 = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2√x = 1

√x = $\frac{1}{2}$

x = $\frac{1}{4}$

y = √x
y = $\sqrt{\frac{1}{4}}$

y = $\frac{1}{2}$

Titik singgung : P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

PGS di titik P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

 dengan $m=1$

 adalah

y − $\frac{1}{2}$

 = 1$\left(x-\frac{1}{4}\right)$
$y=x+\frac{1}{4}$

   atau  4x − 4y + 1 = 0

Soal 7

Garis k menyinggung kurva $y=x^2-4x-3+2a$

 di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8,2)$

, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x² − 4x − 3 + 2a
y = (4)² − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) =  x² − 4x − 3 + 2a 

f '(x) = 2x − 4

m_k = f '(4) = 2(4) − 4
⇒ m_k = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

m_l . m_k = −1

m_l . 4 = −1

m_l = $-\frac{1}{4}$

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$

 dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔  m_l = $\frac{2-(2a-3)}{8-4}$

⇔  $-\frac{1}{4}$

 = $\frac{5-2a}{4}$

⇔  −1 = 5 − 2a

⇔  2a = 6

⇔  a = 3

Soal 8

Jika garis $x-2y=0$

 menyinggung kurva $y=a-\frac{2}{x}$

 dikuadran III, tentukan nilai a !

Jawab :

x − 2y = 0 ⇒ m = $\frac{1}{2}$

f(x) = a − $\frac{2}{x}$

  ⇒  f '(x) = $\frac{2}{x^2}$

m =  f '(x)

$\frac{1}{2}$

 = $\frac{2}{x^2}$

x² = 4

x = ±2

Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.

⇒  x = −2

x − 2y = 0

−2 − 2y = 0

−2y = 2

y = −1

Titik singgung : (−2, −1)

Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :

y = a − $\frac{2}{x}$

−1 = a − $\frac{2}{(-2)}$

−1 = a + 1
⇒ a = −2

Soal 9

Garis $y=4x+1$

 menyinggung kurva $y=a{x}^2+bx$ di titik dengan absis 2. Tentukan nilai $4a-b$

 !

Jawab :

Absis (x) = 2 

y = 4x + 1

y =4(2) + 1
y = 9

Titik singgung : (2, 9)

Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :

y = ax² + bx

9 = a(2)² + b(2)

4a + 2b = 9 ...................................... (1)

y = 4x + 1  ⇒  m = 4

f(x) = ax² + bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b

m = f '(2)

4 = 2a(2) + b

4a + b = 4  ....................................... (2)

Eliminasi (1) dan (2) :

4a + 2b = 9

4a + b = 4    _

4a + b = 5

Dari persamaan (2) :
4a + b = 4

4a + 5 = 4

4a = -1

Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6

Soal 10

Persamaan garis singgung kurva $y=3-x^2$

 yang tegak lurus terhadap garis $4y=x+1$

 adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

4y = x + 1  ⇒  m₁ = $\frac{1}{4}$

Tegak lurus : m₁ . m₂ = −1
$\frac{1}{4}$

 . m₂ = −1
⇒  m₂ = −4

f(x) = 3 − x²  ⇒  f '(x) = −2x

m₂ = f '(x)

−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x²

y = 3 − (2)²
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m₂ = −4 adalah 

y − (−1) = −4(x − 2)

y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7

Soal 11

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{x}-2$

 di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

Jawab :

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

y = √x − 2

0 = √x − 2

√x = 2

x = 4

Titik singgung : (4, 0)

f(x) = √x − 2  ⇒  $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(4) = $\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$

⇒ m = $\frac{1}{4}$

PGS di titik (4, 0) dengan m = $\frac{1}{4}$

 adalah  

y − 0 = $\frac{1}{4}$

(x − 4)
y = $\frac{1}{4}$

x − 1

 

Soal 12

Garis y = x memotong kurva $y=x^2-4x+4$

 di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

Jawab :

Misalkan :

y₁ = x² − 4x + 4
y₂ = x

Titik potong P dan Q :

y₁ = y₂

x² − 4x + 4 = x

x² − 5x + 4 = 0

(x − 1)(x − 4) = 0

x = 1   x = 4

Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :

x = 1 ⇒ y = 1

x = 4 ⇒ y = 4
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

f(x) = x² − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4

m_P = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ m_P = −2

m_Q = f '(4) = 2(4) − 4 = 4

⇒ m_Q = 4

PGS di titik P(1,1) dengan m_P = −2 adalah 

y − 1 = −2(x − 1)
y = −2x + 3

PGS di titik Q(4, 4) dengan m_Q = 4  adalah

y − 4 = 4(x − 4)
y = 4x − 12

$$Sekian\; Blog\; untuk\; materi\; hari\; ini\; kurang\; lebihnya\; mohon\; maafTerimakasih$$

$$Daftar\; Pustaka:https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.idhttps://smatika.blogspot.com$$