MATRIK, MACAM-MACAM MATRIK DAN OPERASI MATRIK

 Nama : Imanuel Nelson Putra Siagian

Kelas : XI IPS 3

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah sebuah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

 

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya  matriks A,

B, C, D, ..., dan seterusnya.

Dalam matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n) pada matriks.

contoh : Suatu matrik A dengan m baris dan n kolom ditulis

 

Misalnya diberikan sebuah matriks A  sebagai berikut

 

Matriks A diatas terdiri dari 4 baris dan 3 kolom, sehingga disebut matriks berordo 4x3 dan dapat ditulis

   

 

B. Jenis-jenis Matriks

Matriks memilik banyak jenis yang dapat dibedakan dengan ordo dan elemen-elemennya. Jenis matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris.

Matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh :

 

2. Matriks kolom.

Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh :

 

3. Matriks persegi.

Matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Contoh :

4. Matriks nol.

Matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

5. Matriks identitas.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Contoh :

 

 

6. Matriks Skalar.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh :

7. Matriks diagonal.

Matriks persegi memiliki elemen di luar diagonal utama yang bernilai nol. Contoh :

 

8. Matriks segitiga atas.

Matriks persegi yang elemen diagonal bawah bernilai nol. Contoh :

9. Matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang elemen diagonal atas bernilai nol. Contoh :

10. Transpos matriks A atau (A t).

Matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

Misalnya, jika matriks A

 

maka matriks transpos dari A adalah :

C. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan B dapat dikatakan sama (ditulis A=B), apabila keduanya berukuran sama dan semua unsur letaknya sama.

Jika

untuk i  adalah = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n

Berbagai sifat yang berkaitan dengan kesamaan dua matrik dan tranposnya

adalah sebagai berikut

 

contoh :

jika matriks 

memenuhi persamaan A = B, maka tentukan x dan y

jawab :

dari A = B diperoleh

yang menghasilkan persamaan linier dua peubah

berdasarkan persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan y = -1

serta nilai x = 2 dan y = -1 juga memenuhi persamaan (3) dan (4)

D. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

• Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

• Perkalian dengan skalar

Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

• Pengurangan

Selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika 

maka
(a). A + B
(b). 2A - 3B
(c). 2At + Bt

Jawab :
(a)

(b)

(c)

E. Perkalian Matriks

Hasil perkalian dari matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1x1 yang ditentukan oleh :

Catatan :

• Jika matriks A berukuran m x p dan matriks B berukuran p x n, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
• Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan

contoh :

Pembahasan :

Matriks A2x2 dikali matriks B2x3 akan menghasilkan matriks C2x3

 

Tulislah sistem persamaan linier berikut sebagai perkalian matriks

                              A3x2     B2x1         C3x1

                                       A3x3       B3x1      C3x1

F. Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika sebuah matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :

• Sifat komutatif terhadap penjumahan adalah : A + B = B + A
• Sifat assosiatif terhadap penjumlahan adalah : (A + B) + C = A + ( B + C)
• Sifat matriks nol adalah : A + 0 = A
• Sifat lawan matriks adalah : A + (-A) = 0
• Sifat asoasiatif terhadap perkalian adalah : (AB) C = A (BC)
• Sifat distributif kiri adalah : A(B + C) = AB + AC
• Sifat distributif kanan adalah : (A+B) C = AC + BC
• Sifat perkalian dengan konstanta adalah : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
• Sifat perkalian dengan matriks satuan adalah : AI = IA = A
  

 

 

 Sumberr : http://andi-lestianto.blogspot.com/2017/08/pengertian-dan-contoh-matriks-jenis.html

 

 

 

Soal Cerita Untuk Menentukan Nilai Optimum

 

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Senin, 24 Agustus 2020

imanuel nelson putra siagian (17)

 

Dengan persediaan kain polos 20m dan kain bergaris 10, Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak ….

Dik :

Model 1 = kain polos 1m dan kain bergaris 1,5m

Model 2 = kain polos 2m dan kain bergaris 0,5m

Persediaan = kain polos 20 dan kain bergaris 10

Laba = model 1 tidak kurang dari Rp.15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

Dit : laba yang diperoleh....

Jawaban :

Kita misalkan :

Model 1 : x

Model 2 : y

Selanjutnya kita buat menjadi tabel agar mempermudah pembacaan.

	Kain polos	Kain bergaris
Model 1 (x)	1x	1,5x
Model 2 (y)	2y	0,5y
Persediaan	20	10

 

Kita buat kain polos menjadi persamaan, yaitu dengan ( model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain polos yaitu

1x + 2y = 20.......(kain polos)

Kita buat juga untuk kain bergaris menjadi persamaan, yaitu dengan (model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain bergaris yaitu

1,5x + 0,5y = 10.....(kain bergaris)

Untuk langkah selanjutnya, persamaan kain polos dan bergaris kita substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y.

 

 Dari hasil eliminasi persamaan kain polos dan kain bergaris ditemukan hasil x=4, selanjutnya mari kita substitusi x ke persamaan kain polos.

 

 

Setelah ditemukan nilai x=4 dan  nilai y=8, langkah selanjutnya yaitu menentukan laba. Seperti yang dijelaskan di soal. Model 1 mendapatkan laba tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan untuk model 2 mendapatkan laba tidak kurang dari Rp. 10.000,00. Sehingga menjadi sebuah [laba = laba model 1 (x) + laba model 2 (y)]. Atau dalam penulisan angka dapat dituliiskan seperti diawah ini.

Laba = 15.000x + 10.000y

Karena nilai x dan y sudah kita temukan dengan cara substitusi dan elimanasi persamaan kainpolos dan kain bergaris. Selnajutnya kita tinggal memasukkan nilai x dan y kedalam Laba = 15.000x + 10.000y

 

daerah bersih atau daerah kotor program linear

 

Program Linear: Menggambar Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel berupa beberapa pertidaksamaan linear yang terdiri dari 2 variabel, biasanya x atau y (walaupun jenis variabel lainnya tetap memungkinkan). Pertidaksamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum seperti berikut:

ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, atau ax + by ≥ c

Sebelum menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, sebaiknya kita tahu terlebih dahulu mengenai himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian merupakan himpunan pengganti nilai variabel sedemikian sehingga menyebabkan sistem pertidaksamaan menjadi pernyataan yang benar. Daerah penyelesaian yang akan kita gambar merupakan daerah dari himpunan penyelesaian tersebut. Daerah ini berisi himpunan pasangan berurutan (x, y) yang menjadi anggota dari himpunan penyelesaian.

Untuk menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.

–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Pembahasan Contoh Soal

Untuk menggambar daerah penyelesaian dari sitem pertidaksamaan yang dimaksud, lakukan langkah-langkah berikut:

Langkah pertama. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear, kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat. Grafik dari persamaan linear berupa garis lurus. Untuk itu, cari dua titik yang dilewati oleh garis tersebut, kemudian hubungkan kedua titik tersebut menjadi suatu garis lurus. Dua titik ini biasanya dipilih titik pada sumbu-x dan sumbu-y, akan tetapi apabila kurang memungkinkan, pilihlah titik-titik lain.

 

 Sehingga garis –x + 8y = 80 melalui titik-titik (0, 10) dan (16, 12). Dengan cara yang sama, dapat dicari 2 titik yang dilalui persamaan garis lainnya.

 

 Sehingga, garis-garis dari –x + 4y = 80, 2x – 4y = 5, 2x + y = 12, dan 2x – y = 4 dapat digambarkan seperti berikut.

 

 

Langkah kedua. Arsirlah daerah dari masing-masing pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah pertidaksamaan, pilihlah salah satu titik yang terdapat di kanan atau di kiri, atas atau bawah dari garis. Apabila koordinat titik tersebut disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan menghasilkan pernyataan yang benar, maka daerah titik tersebut merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Arsirlah daerah penyelesaian tersebut. Sebaliknya, apabila koordinat titik tersebut disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan menghasilkan pernyataan yang salah, maka daerah titik tersebut bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Arsirlah daerah yang berseberangan terhadap titik tersebut. Misalkan kita akan menemukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan –x + 8y ≤ 80. Misalkan kita pilih titik (0, 12) yang terletak di atas garis sebagai titik uji. Kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan sebagai berikut.

 

Dengan mensubstitusikan titik (0, 12) ke pertidaksamaan –x + 8y ≤ 80 menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah yang memuat titik (0, 12) bukan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Sehingga daerah yang berlawanan dengan daerah tersebut, yaitu daerah bawah, yang kita arsir.

 

 Dengan cara yang sama, kita cari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan lainnya. Setelah itu kita gambarkan daerahnya seperti pada gambar berikut.

 

Langkah ketiga. Arsirlah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang dimaksud. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan. Atau secara visual, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan daerah yang terkena arsiran dari semua daerah penyelesaian. Sehingga himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan –x + 8y ≤ 80, 2x – 4y ≤ 5, 2x + y ≥ 12, 2x – y ≥ 4, x ≥ 0, dan y ≥ 0 dapat digambarkan sebagai berikut.

 

Sumber

https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/25/program-linear-menggambar-daerah-penyelesaian-sistem-pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

 

 

Program Linear

Nama : Imanuel Nelson Putra Siagian

kelas : X IPS 3

              PROGRAM LINEAR

Program linear adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah dalam bentuk pertidaksamaan linear. Saat mempelajari program linear, sama artinya kamu belajar grafik pertidaksamaan. Adapun bentuk umum pertidaksamaan linearnya adalah ax + by ≤ c.

MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN

Jika dinyatakan dalam bentuk gambar, pertidaksamaan linear akan membentuk daerah di sebelah kanan atau kiri garis. Adapun langkah-langkah yang harus kamu perhatikan saat menggambar daerah pertidaksamaan adalah sebagai berikut.

1. Menentukan 2 titik potong yang dilewati persamaan garis ax + by = c. Titik potong yang digunakan adalah sumbu x dan sumbu y.
2. Menentukan daerah penyelesaian, bisa juga himpunan penyelesaian menggunakan 2 metode, yaitu metode titik uji dan metode ax + by > c (daerah sebelah kanan garis) atau ax + by < c (daerah sebelah kiri garis), dengan a > 0.

Contoh soal

Gambarlah daerah pertidaksamaan 2x ≤ y!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus mencari dua titik potong garis 2x = y.

Oleh karena pertidaksamaan 2x ≤ y bisa diubah menjadi 2x – y ≤ 0, maka daerah yang diambil adalah daerah kiri.

Pembahasan di atas adalah cara untuk menggambarkan grafik dari pertidaksamaan yang diketahui. Selanjutnya, kamu akan belajar bagaimana cara menentukan pertidaksamaan dari daerah yang diketahui.

MENENTUKAN PERTIDAKSAMAAN DARI DAERAH YANG DIKETAHUI

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1. Menentukan persamaan garisnya terlebih dahulu. Persamaan garis sudah kamu pelajari di bagian gradien.

2. Saat menentukan persamaan garis pada koordinat kartesius, dibutuhkan minimal dua titik yang diketahui. Kedua titik tersebut dimisalkan sebagai (x1, y1) dan (x2, y2). Lalu, substitusikan kedua nilai x dan y ke persamaan berikut.

3. juga bisa menggunakan cara berikut

Pada prinsipnya, untuk menentukan pertidaksamaan—baik melalui titik uji atau metode gambar di atas—daerah kanan akan merupakan daerah besar dan kiri daerah kecil jika a > 0.

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Sistem pertidaksamaan linear merupakan gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear. Daerah penyelesaian merupakan daerah yang diarsir.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Gambarlah daerah pertidaksamaan dari sistem pertidaksamaan berikut.

2x + 3y ≥ 6;

x ≥ 3;

y ≤ 5; dan

x + y ≤ 8.

Pembahasan:

Pertama, tentukan titik potong untuk masing-masing pertidaksamaan.

Untuk 2x + 3y ≥ 6

Untuk x ≥ 3

(3, 0) (3, 1)

Untuk y ≤ 5

(0, 5) (1, 5)

Untuk x + y ≤ 8

Gambarnya akan seperti ini

MEMBUAT MODAL PERTIDAKSAMAAN DARI SOAL CERITA

Banyak kegiatan sehari-hari yang perlu melibatkan matematika, seperti mencari keuntungan maksimum bagi pedagang, mencari biaya produksi minimum, menentukan omzet tertinggi dari suatu bisnis, dan sebagainya. 

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kamu harus mengubahnya menjadi bahasa matematika. Contohnya seperti pedagang lilin yang ada di pertemuan awal materi ini.

Ada seorang pedagang lilin yang memiliki modal usaha Rp800.000 dengan kios mini yang hanya mampu menampung 500 bungkus lilin. Harga beli lilin kecil per bungkusnya Rp2.000 dan lilin besar per bungkusnya Rp1.000.

Agar modal yang dimiliki penjual tersebut bisa digunakan sepenuhnya untuk membeli lilin sesuai kapasitas kios dan tanpa harus berhutang, bagaimana model Matematika yang sesuai?

1. Pertama, tentukan dahulu benda apa saja yang dibicarakan pada soal di atas, yaitu lilin A dan lilin B.
2. Tentukan variabel masing-masing lilin. Misalnya lilin A = x dan lilin B = y.

Jika dijabarkan secara matematis, menjadi seperti berikut.

Dengan demikian, model matematika yang sesuai adalah sebagai berikut.

x + y ≤ 500 (jumlah lilin tidak boleh melebihi 500)

2.000x + 1.000y ≤ 800.000 (jumlah pembelian tidak boleh melebihi modalnya)

Oleh karena x dan y mewakili banyak benda, maka x,y ≥ 0.

Mencari Nilai Maksimum dan Minimum pada Soal Cerita

Pada soal cerita, biasanya ditanyakan penerapan nilai maksimum dan minimum. Misalnya keuntungan maksimum, biaya produksi minimum, pendapatan maksimum, dan sebagainya.

Sebelum memecahkan masalah pertidaksamaan pada soal cerita, Quipperian harus mengenal titik pojok dan garis selidik.

1. Titik pojok adalah titik untuk mengidentifikasi nilai maksimum suatu grafik pertidaksamaan. Titik ini berada di titik sudut daerah terdefinisi.
2. Garis selidik digunakan jika titik pojok pada suatu daerah cukup banyak dan lebih dari satu titik belum diketahui.

Contoh soal

Luas daerah suatu lahan parkir adalah 1.760 m². Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp5.000/jam dan mobil besar Rp8.000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, berapakah penghasilan maksimum tukang parkirnya?

Pembahasan:

Diketahui:

x = banyaknya mobil kecil yang terparkir dalam satu jam

y = banyaknya mobil besar yang terparkir dalam satu jam

Tabel keterkaitan

Model matematikanya adalah sebagai berikut.

x + y ≤ 200;

4x + 20y ≤ 1.760 atau x + 5y ≤ 440;

x ≥ 0; dan

y ≥ 0.

Untuk fungsi objektifnya adalah z = f(x, y) = 5.000x + 8.000y, sehingga gambar daerahnya adalah sebagai berikut.

Gunakan metode titik pojok. Salah satu titik C belum diketahui, tetapi bisa dengan mudah dicari dengan eliminasi.

Substitusikan nilai y ke persamaan x + y = 200, diperoleh y = 140. Dengan demikian C (140, 60).

Substitusikan semua titik sudut yang diketahui.

Jadi, pendapatan maksimum tukang parkirnya adalah Rp1.180.0000.