CONTOH SOAL

 CONTOH SOAL

IMANUEL NELSON P.S.

XI IPS 3

17

 

SOAL MATEMATIKA

 NAMA : IMANUEL NELSON PUTRA SIAGIAN

XI IPS 3

17

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

Nama: Imanuel Nelson Putra Siagian

17

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

A. Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dengan sumbu x dapat kita gunakan konsep integral tentu

Perhatikan Ilustrasi berikut

.

Misalkan kita diberikan gambar berikut,

maka luas    adalah:

.

B. Volume Benda Putar

.

Perhatikanlah ilustrasi jika suatu bidang datar dirotasikan terhadap sumbu Y

 

Contoh Soal

Soal Nomor 1
Jika daerah yang diarsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$

 satuan volume.

A. $10\frac{2}{3}\pi$                    D. $12\frac{11}{15}\pi$
B. $12\frac{2}{15}\pi$                  E. $14\frac{2}{3}\pi$
C. $12\frac{4}{15}\pi$

Pembahasan

Pertama, kita tentukan dulu titik potong kedua kurva dengan cara menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}x& =x\\ y+2& =y^2\\ y^2-y-2& =0\\ (y-2)(y+1)& =0\end{array}$

Diperoleh $y=-1$ atau $y=2$.
Dari gambar yang diberikan, daerah arsir terbatas pada interval $[0,2]$.
Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^2(x_{\text{atas}}^2-x_{\text{bawah}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^2\left(\right(y+2{)}^2-\left(y^2{)}^2\right)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^2\left(\right(y^2+4y+4)-y^4)\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{3}{y}^3+2y^2+4y-\frac{1}{5}{y}^5]}_0^2\\ & =\pi \left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3+2(2{)}^2+4(2)-\frac{1}{5}(2{)}^5)\\ & =\pi (\frac{8}{3}+8+8-\frac{32}{5})\\ & =\pi \left(\frac{40+240-96}{15}\right)\\ & =\frac{184}{15}\pi =12\frac{4}{15}\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $12\frac{4}{15}\pi$ satuan volume.
(Jawaban C)

 

Soal Nomor 2
Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x-y^2+1=0$, $-1\le x\le 4$, dan sumbu-$X$, diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\frac{1}{2}\pi$                    D. $12\frac{1}{2}\pi$
B. $9\frac{1}{2}\pi$                    E. $13\frac{1}{2}\pi$
C. $11\frac{1}{2}\pi$

Pembahasan

Kurva $x-y^2+1=0$

 dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x=-1$ dan $x=4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu-$X$ pada selang $[-1,4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^4{y}^2\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^4(x+1)\text{d}x\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{x}^2+x]}_{-1}^4\\ & =\pi [\left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2+4)-\left(\frac{1}{2}\right(-1{)}^2+(-1))]\\ & =\pi \left[\right(8+4)-(\frac{1}{2}-1)]\\ & =\pi (12+\frac{1}{2})=12\frac{1}{2}\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $12\frac{1}{2}\pi$ satuan volume.
(Jawaban D)

 

Soal Nomor 3
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{117}{5}\pi$                        D. $\frac{7}{5}\pi$
B. $\frac{107}{5}\pi$                        E. $\frac{4}{5}\pi$
C. $\frac{105}{5}\pi$

Pembahasan

Titik potong dari kurva $y=x^2+1$

 dan $y=x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2+1& =x+3\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=2$ atau $x=-1$.
Sketsakan grafik dari $y=x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1,2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1$.
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu-$X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^2(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x+3{)}^2-(x^2+1{)}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1\left)\right)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2(-x^4-x^2+6x+8)\text{d}x\\ & =\pi {[-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+8x]}_{-1}^2\\ & =\pi [-\frac{1}{5}(2^5+(-1{)}^5)-\frac{1}{3}(2^3-(-1{)}^3)+3(2^2+(-1{)}^2)+8(2-(-1\left)\right)]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}-3+9+24]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}+30]\\ & =\frac{117}{5}\pi \end{array}$$Jadi, volumenya adalah $\frac{117}{5}\pi$ satuan volume.

(Jawaban A)

 Soal Nomor 4
Daerah $D$ terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola $y=x^2$, parabola $y=4x^2$, dan garis $y=4$. Volume benda putar yang terjadi bila $D$ diputar terhadap sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\pi$                  C. $6\pi$                  E. $20\pi$
B. $4\pi$                  D. $8\pi$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$

 yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0,4]$.
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap ${360}^{\circ }$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{cccc}{x}^2& =y& & \left(x\text{kanan}\right)\\ 4x^2& =y\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}y& & \left(x\text{kiri}\right)\end{array}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{1}{4}y)\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\int }_0^{4}y\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =\frac{3}{8}\pi (4^2-0^2)\\ & =6\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $6\pi$ satuan volume.
(Jawaban C)

 Soal Nomor 5
Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\frac{2}{3}\pi$
B. $8\pi$                         E. $2\frac{1}{3}\pi$
C. $3\frac{2}{3}\pi$

Pembahasan

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$

.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2& =2x\\ x^2-2x& =0\\ x(x-2)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=0$ atau $x=2$.
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0,2]$.
[diputar terhadap sumbu-$Y$]
$y=x^2\iff x^2=y$
$y=2x\iff x=\frac{y}{2}\iff x^2=\frac{y^2}{4}$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_1^2-x_2^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{y^2}{4})\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{12}{y}^3]}_0^4\\ & =\pi \left[\frac{1}{2}\right(4^2-0^2)-\frac{1}{12}(4^3-0^3\left)\right]\\ & =\pi [8-5\frac{1}{3}]=2\frac{2}{3}\end{array}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $2\frac{2}{3}$ satuan volume.
(Jawaban D)

 

sekian blog saya terimakasih  

 

Daftar Pustaka:

 

https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2015/08/30/insyaallah-25/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-volume-benda-putar-menggunakan-integral/